Trigonometria
Estudos relacionados à Trigonometria.
A Trigonometria (trigono: triângulo e metria: medidas) é o estudo da Matemática responsável pela relação existente entre os lados e os ângulos de um triângulo. Nos triângulos retângulos (possuem um ângulo de 90º), as relações constituem os chamados ângulos notáveis, 30º, 45º e 60º, que possuem valores constantes representados pelas relações seno, cosseno e tangente. Nos triângulos que não possuem ângulo reto, as condições são adaptadas na busca pela relação entre os ângulos e os lados.
Os estudos iniciais estão relacionados aos povos babilônicos e egípcios, sendo desenvolvidos pelos gregos e indianos. Através da prática, conseguiram criar situações de medição de distâncias inacessíveis. Hiparco de Niceia (190 a.C – 125 a.C) foi um astrônomo grego que introduziu a Trigonometria como ciência, por meio de estudos ele implantou as relações existentes entre os elementos do triângulo. O Teorema de Pitágoras possui papel importante no desenvolvimento dos estudos trigonométricos, pois é através dele que desenvolvemos fórmulas teóricas comumente usadas nos cálculos relacionados a situações práticas cotidianas.
Devemos ressaltar que a Trigonometria objetivou a elaboração dos estudos das funções trigonométricas, relacionadas aos ângulos e aos fenômenos periódicos. A partir do século XV, a modernidade dos cálculos criou novas situações teóricas e práticas relacionadas aos estudos dos ângulos e das medidas. Com a criação do Cálculo Diferencial e Integral, pelos cientistas Isaac Newton e Leibniz, a Trigonometria ganhou moldes definitivos no cenário da Matemática, sendo constantemente empregada em outras ciências, como Medicina, Engenharia, Física (ondulatória, óptica), Química, Geografia, Astronomia, Biologia, Cartografia, Navegação entre outras.
Os estudos iniciais estão relacionados aos povos babilônicos e egípcios, sendo desenvolvidos pelos gregos e indianos. Através da prática, conseguiram criar situações de medição de distâncias inacessíveis. Hiparco de Niceia (190 a.C – 125 a.C) foi um astrônomo grego que introduziu a Trigonometria como ciência, por meio de estudos ele implantou as relações existentes entre os elementos do triângulo. O Teorema de Pitágoras possui papel importante no desenvolvimento dos estudos trigonométricos, pois é através dele que desenvolvemos fórmulas teóricas comumente usadas nos cálculos relacionados a situações práticas cotidianas.
Devemos ressaltar que a Trigonometria objetivou a elaboração dos estudos das funções trigonométricas, relacionadas aos ângulos e aos fenômenos periódicos. A partir do século XV, a modernidade dos cálculos criou novas situações teóricas e práticas relacionadas aos estudos dos ângulos e das medidas. Com a criação do Cálculo Diferencial e Integral, pelos cientistas Isaac Newton e Leibniz, a Trigonometria ganhou moldes definitivos no cenário da Matemática, sendo constantemente empregada em outras ciências, como Medicina, Engenharia, Física (ondulatória, óptica), Química, Geografia, Astronomia, Biologia, Cartografia, Navegação entre outras.
Aplicações das leis trigonométricas de um triângulo: seno e cosseno
Analisando os elementos das leis trigonométricas do seno e do cosseno em um triângulo para assim entendermos suas aplicações em situações problema. Um passo importante para isso é interpretar o enunciado, extrair as informações e compará-las com os dados de cada expressão.
Não há sentido em aprender diversos conceitos matemáticos sem que exista uma compreensão da aplicação destes conceitos, mesmo que em situações hipotéticas. Por hora veremos a aplicação de duas leis trigonométricas que se aplicam em qualquer situação em que se tenha um triângulo, seja ele qual for.
Veremos uma mesma situação, onde um construtor de pontes deseja calcular o tamanho da ponte que será construída, entretanto, em cada uma das situações as informações serão diferentes. Com isso veremos os casos nos quais é possível a aplicação da Lei do Seno e da Lei do Cosseno.
Situação 1) O construtor deseja calcular a distância do ponto A ao ponto C, pontos onde a ponte será construída, entretanto ele não possui nenhuma ferramenta que meça essa distância, mas ele conhece de matemática e teve a seguinte ideia. “Como eu possuo uma ferramenta que calcula ângulos, conseguirei determinar o comprimento desta ponte”. Com isso ele marcou um ponto B, calculou o ângulo BÂC que foi igual a 85°, caminhou até o ponto B, uma distância de 2km, e calculou o ângulo ABC obtendo um ângulo de 65°. O construtor acredita que com essas informações será possível calcular o comprimento da ponte.
Veja como será realizado esse cálculo:
Note que as únicas informações dadas foram:
Vejamos as expressões das Leis trigonométricas que podem ser aplicadas.
Lei do seno:
Lei do cosseno:
Veja que com os dados que temos não é possível aplicar a lei do cosseno, pois precisamos das medidas de dois lados e temos apenas a medida de um lado e de dois ângulos, portanto, aplicaremos a lei dos senos.
Situação 2) O construtor deseja calcular a distância do ponto A ao ponto C, pontos onde a ponte será construída, entretanto, com a ferramenta que ele possui só foi possível calcular as medidas dos segmentos AB e BC, no qual o segmento AB é igual a 2km e o segmento BC 3,99km. Utilizou novamente a ferramenta de medir ângulos e obteve que o ângulo do vértice B é igual a 65°. Com isso, o construtor conseguiu determinar o comprimento da ponte. Faça você também esses cálculos.
Vejamos as informações que temos:
Assim, devemos nos atentar às informações que a situação nos passa, para que saibamos qual relação devemos utilizar. Esse é o ponto crucial para diferenciar essas duas leis quanto à sua aplicação
As Razões Inversas do Seno, Cosseno e da Tangente
As razões trigonométricas seno, cosseno e tangente estão associadas ao triângulo retângulo e às relações entre os catetos e a hipotenusa. Essas relações são constituídas de acordo com as seguintes razões:
seno
seno
cosseno
tangente
Essas razões trigonométricas possuem inversas que são nomeadas cossecante, secante e cotangente.
A inversa do seno é a cossecante (cossec).
A inversa do cosseno é a secante (sec).
A inversa da tangente é a cotangente (cotg).
As razões inversas de seno, cosseno e tangente podem ser representadas pelas seguintes expressões:
cossecante
As razões inversas de seno, cosseno e tangente podem ser representadas pelas seguintes expressões:
cossecante
secante
cotangente
O conhecimento das razões trigonométricas e de suas inversas auxiliará nos estudos ligados às relações fundamentais entre as funções de um mesmo arco, relações derivadas e ao desenvolvimento das identidades trigonométricas.
As Razões Recíprocas do Seno, do Cosseno e da Tangente
Os conceitos e aplicações das razões trigonométricas surgiram de estudos realizados no triângulo retângulo. Ao relacionar o cateto oposto, o cateto adjacente e a hipotenusa determinamos as relações dadas por seno, cosseno e tangente. Observe:
O estudo dessas relações também está associado aos ângulos do círculo trigonométrico. No círculo, obtemos as razões seno, cosseno e tangente, bem como suas recíprocas (relações inversas) cossecante, secante e cotangente.
Devidos às relações cossecante, secante e cotangente serem inversas, suas representações podem assumir as seguintes notações:
As relações são apresentadas pela Matemática através das seguintes abreviaturas:
Seno: sen
Cosseno: cos
Tangente: tg
Cossecante: cossecSecante: sec
Cotangente: cotg
Cosseno: cos
Tangente: tg
Cossecante: cossecSecante: sec
Cotangente: cotg
Circunferência trigonométrica
A circunferência trigonométrica está representada no plano cartesiano com raio medindo uma unidade. Ela possui dois sentidos a partir de um ponto A qualquer, escolhido como a origem dos arcos. O ponto A será localizado na abscissa do eixo de coordenadas cartesianas, dessa forma, este ponto terá abscissa 1 e ordenada 0. Os eixos do plano cartesiano dividem o círculo trigonométrico em quatro partes, chamadas de quadrantes, onde serão localizados os números reais α relacionados a um único ponto P. Os sentidos dos arcos trigonométricos estão de acordo com as seguintes definições:
Se α = 0, P coincide com A.
Se α > 0, o sentido do círculo trigonométrico será anti-horário.
Se α < 0, o sentido do círculo será horário.
O comprimento do arco AP será o módulo de α.
Na ilustração a seguir estão visualizados alguns números importantes, eles são referenciais para a determinação principal de arcos trigonométricos:
Se α = 0, P coincide com A.
Se α > 0, o sentido do círculo trigonométrico será anti-horário.
Se α < 0, o sentido do círculo será horário.
O comprimento do arco AP será o módulo de α.
Uma volta completa no círculo trigonométrico corresponde a 360º ou 2π radianos, se o ângulo α a ser localizado possuir módulo maior que 2π, precisamos dar mais de uma volta no círculo para determinarmos a sua imagem.
Por exemplo, para localizarmos 8π/3 = 480º, damos uma volta completa no sentido anti-horário e localizamos o arco de comprimento 2π/3, pois 8π/3 = 6π/3 + 2π/3 = 2π + 2π/3.
Por exemplo, para localizarmos 8π/3 = 480º, damos uma volta completa no sentido anti-horário e localizamos o arco de comprimento 2π/3, pois 8π/3 = 6π/3 + 2π/3 = 2π + 2π/3.
Na localização da determinação principal de –17π/6 = –510º, devemos dar 2 voltas completas no sentido horário e localizarmos o arco de comprimento –5π/6, pois –17π/6 = –12π/6 – 5π/6 = 2π – 5π/6.
Equação trigonométrica
Para que exista uma equação qualquer é preciso que tenha pelo menos uma incógnita e uma igualdade.
Agora, para ser uma equação trigonométrica é preciso que, além de ter essas características gerais, é preciso que a função trigonométrica seja a função de uma incógnita.
sen x = cos 2x
sen 2x – cos 4x = 0
4 . sen3 x – 3 . sen x = 0
São exemplos de equações trigonométricas, pois a incógnita pertence à função trigonométrica.
x2 + sen 30° . (x + 1) = 15
Esse é um exemplo de equação do segundo grau e não de uma equação trigonométrica, pois a incógnita não pertence à função trigonométrica.
Grande parte das equações trigonométricas é escrita na forma de equações trigonométricas elementares ou equações trigonométricas fundamentais, representadas da seguinte forma:
sen x = sen a
cos x = cos a
tg x = tag a
Cada uma dessas equações acima possui um tipo de solução, ou seja, de um conjunto de valores que a incógnita deverá assumir em cada equação.
Agora, para ser uma equação trigonométrica é preciso que, além de ter essas características gerais, é preciso que a função trigonométrica seja a função de uma incógnita.
sen x = cos 2x
sen 2x – cos 4x = 0
4 . sen3 x – 3 . sen x = 0
São exemplos de equações trigonométricas, pois a incógnita pertence à função trigonométrica.
x2 + sen 30° . (x + 1) = 15
Esse é um exemplo de equação do segundo grau e não de uma equação trigonométrica, pois a incógnita não pertence à função trigonométrica.
Grande parte das equações trigonométricas é escrita na forma de equações trigonométricas elementares ou equações trigonométricas fundamentais, representadas da seguinte forma:
sen x = sen a
cos x = cos a
tg x = tag a
Equações do Tipo cos x = a
As equações trigonométricas são igualdades que envolvem funções trigonométricas de arcos desconhecidos. A resolução dessas equações consiste num processo único, que utiliza técnicas de redução a equações mais simples. Vamos abordar os conceitos e as definições das equações na forma cosx = a.
As equações trigonométricas na forma cosx = α possui soluções no intervalo –1 ≤ x ≤ 1. A determinação dos valores de x que satisfazem esse tipo de equação obedecerá à seguinte propriedade: Se dois arcos têm cossenos iguais, então eles são côngruos ou replementares.
Consideremos x = α uma solução da equação cos x = α. As outras possíveis soluções são os arcos côngruos ao arco α ou ao arco – α (ou ao arco 2π – α) . Então: cos x = cos α. Observe a representação no ciclo trigonométrico:
Consideremos x = α uma solução da equação cos x = α. As outras possíveis soluções são os arcos côngruos ao arco α ou ao arco – α (ou ao arco 2π – α) . Então: cos x = cos α. Observe a representação no ciclo trigonométrico:
Concluímos que:
x = α + 2kπ, com k Є Z ou x = – α + 2kπ, com k Є Z
Exemplo 1
Resolver a equação: cos x = √2/2.
Pela tabela de razões trigonométricas temos que √2/2 corresponde ao ângulo de 45º. Então:
cos x = √2/2 → cos x = π/4 (π/4 = 180º/4 = 45º)
Dessa forma, a equação cosx = √2/2 possui como solução todos os arcos côngruos ao arco π/4 ou –π/4 ou ainda 2π – π/4 = 7π/4. Observe ilustração:
x = α + 2kπ, com k Є Z ou x = – α + 2kπ, com k Є Z
Exemplo 1
Resolver a equação: cos x = √2/2.
Pela tabela de razões trigonométricas temos que √2/2 corresponde ao ângulo de 45º. Então:
cos x = √2/2 → cos x = π/4 (π/4 = 180º/4 = 45º)
Dessa forma, a equação cosx = √2/2 possui como solução todos os arcos côngruos ao arco π/4 ou –π/4 ou ainda 2π – π/4 = 7π/4. Observe ilustração:
Concluímos que as possíveis soluções da equação cos x = √2/2 são:
x = π/4 + 2kπ, com k Є Z ou x = – π/4 + 2kπ, com k Є Z
Exemplo 2
Resolver a equação: cos 3x = cos x
Quando os arcos 3x e x são côngruos:
3x = x + 2kπ
3x – x = 2kπ
2x = 2kπ
x = kπ
Quando os arcos 3x e x são replementares:
3x = –x + 2kπ
3x + x = 2kπ
4x = 2kπ
x = 2kπ/4
x = kπ/2
A solução da equação cos 3x = cos x é {x Є R / x = kπ ou x = kπ/2, com k Є Z}.
x = π/4 + 2kπ, com k Є Z ou x = – π/4 + 2kπ, com k Є Z
Exemplo 2
Resolver a equação: cos 3x = cos x
Quando os arcos 3x e x são côngruos:
3x = x + 2kπ
3x – x = 2kπ
2x = 2kπ
x = kπ
Quando os arcos 3x e x são replementares:
3x = –x + 2kπ
3x + x = 2kπ
4x = 2kπ
x = 2kπ/4
x = kπ/2
A solução da equação cos 3x = cos x é {x Є R / x = kπ ou x = kπ/2, com k Є Z}.
Equações do Tipo sen x = a
Equações trigonométricas são igualdades que evolvem uma ou mais funções trigonométricas de arcos incógnitos. Para a resolução de equações trigonométricas não existe um processo único, o que devemos fazer é tentar reduzi-las a equações mais simples, do tipo senx = α,
cosx = α e tgx = α, denominadas equações fundamentais. Das três equações citadas vamos abordar os conceitos e as formas de resolução da equação senx = α.
As equações trigonométricas na forma senx = α possui soluções no intervalo –1 ≤ x ≤ 1. A determinação dos valores de x que satisfazem esse tipo de equação obedecerá à seguinte propriedade: Se dois arcos têm senos iguais, então eles são côngruos ou suplementares.
Consideremos x = α uma solução da equação sen x = α. As outras possíveis soluções são os arcos côngruos ao arco α ou ao arco π – α. Então: sen x = sen α. Observe a representação no ciclo trigonométrico:
cosx = α e tgx = α, denominadas equações fundamentais. Das três equações citadas vamos abordar os conceitos e as formas de resolução da equação senx = α.
As equações trigonométricas na forma senx = α possui soluções no intervalo –1 ≤ x ≤ 1
Consideremos x = α uma solução da equação sen x = α. As outras possíveis soluções são os arcos côngruos ao arco α ou ao arco π – α. Então: sen x = sen α. Observe a representação no ciclo trigonométrico:
Concluímos que:
x = α + 2kπ, com k Є Z ou x = π – α + 2kπ, com k Є Z
Exemplo
Resolva a equação: sen x = √3/2
Sabemos pela tabela de razões trigonométricas que √3/2 corresponde ao seno do ângulo de 60º. Então:
sen x = √3/2 → sen x = π/3 (π/3 = 180º/3 = 60º)
Dessa forma, a equação senx = √3/2 possui como solução todos os arcos côngruos ao arco π/3 ou ao arco π – π/3. Observe ilustração:
Concluímos que as possíveis soluções da equação sen x = √3/2 são:
x = π/3 + 2kπ, com k Є Z ou x = 2π/3 + 2kπ, com k Є Z
x = π/3 + 2kπ, com k Є Z ou x = 2π/3 + 2kπ, com k Є Z
Equações e Inequações Trigonométricas
O que difere a equação e inequação trigonométrica das outras é que elas possuem funções trigonométricas das incógnitas.
Função trigonométrica é a relação feita entre os lados e os ângulos de um triângulo retângulo. Essas relações recebem o nome de seno, co-seno, tangente, co-secante, secante, co-tangente.
►Veja alguns exemplos de quando uma equação é trigonométrica e quando ela não é trigonométrica.
sen x + cos y = 3 é uma equação trigonométrica, pois as incógnitas x e y possuem funções trigonométricas.
x + tg30º - y2 + cos60º = √3 não é uma equação trigonométrica, pois as funções trigonométricas não pertencem às incógnitas, ou seja, as incógnitas independem das funções trigonométricas.
►Veja agora exemplos de inequações trigonométricas e quando uma inequação não é trigonométrica por que possui funções trigonométricas.
sen x > √3 é uma inequação trigonométrica pois função trigonométrica é função de uma incógnita.
(sen 30°) . x + 1 > 2 não é uma função trigonométrica, pois função trigonométrica não é uma função da incógnita.
Função trigonométrica é a relação feita entre os lados e os ângulos de um triângulo retângulo. Essas relações recebem o nome de seno, co-seno, tangente, co-secante, secante, co-tangente.
►Veja alguns exemplos de quando uma equação é trigonométrica e quando ela não é trigonométrica.
sen x + cos y = 3 é uma equação trigonométrica, pois as incógnitas x e y possuem funções trigonométricas.
x + tg30º - y2 + cos60º = √3 não é uma equação trigonométrica, pois as funções trigonométricas não pertencem às incógnitas, ou seja, as incógnitas independem das funções trigonométricas.
►Veja agora exemplos de inequações trigonométricas e quando uma inequação não é trigonométrica por que possui funções trigonométricas.
sen x > √3 é uma inequação trigonométrica pois função trigonométrica é função de uma incógnita.
(sen 30°) . x + 1 > 2 não é uma função trigonométrica, pois função trigonométrica não é uma função da incógnita.
Funções Trigonométricas
No círculo trigonométrico temos arcos que realizam mais de uma volta, considerando que o intervalo do círculo é [0, 2π], por exemplo, o arco dado pelo número real x = 5π/2, quando desmembrado temos: x = 5π/2 = 4π/2 + π/2 = 2π + π/2. Note que o arco dá uma volta completa (2π = 2*180º = 360º), mais um percurso de 1/4 de volta (π/2 = 180º/2 = 90º). Podemos associar o número x = 5π/2 ao ponto P da figura, o qual é imagem também do número π/2. Existem outros infinitos números reais maiores que 2π e que possuem a mesma imagem. Observe:
9π/2 = 2 voltas e 1/4 de volta
13π/2 = 3 voltas e 1/4 de volta
17π/2 = 4 voltas e 1/4 de volta
Podemos generalizar e escrever todos os arcos com essa característica na seguinte forma: π/2 + 2kπ, onde k Є Z. E de uma forma geral abrangendo todos os arcos com mais de uma volta, x + 2kπ.
Estes arcos são representados no plano cartesiano através de funções circulares como: função seno, função cosseno e função tangente.
Características da função seno
É uma função f : R → R que associa a cada número real x o seu seno, então f(x) = senx. O sinal da função f(x) = senx é positivo no 1º e 2º quadrantes, e é negativo quando x pertence ao 3º e 4º quadrantes. Observe:
13π/2 = 3 voltas e 1/4 de volta
17π/2 = 4 voltas e 1/4 de volta
Podemos generalizar e escrever todos os arcos com essa característica na seguinte forma: π/2 + 2kπ, onde k Є Z. E de uma forma geral abrangendo todos os arcos com mais de uma volta, x + 2kπ.
Estes arcos são representados no plano cartesiano através de funções circulares como: função seno, função cosseno e função tangente.
Características da função seno
É uma função f : R → R que associa a cada número real x o seu seno, então f(x) = senx. O sinal da função f(x) = senx é positivo no 1º e 2º quadrantes, e é negativo quando x pertence ao 3º e 4º quadrantes. Observe:
Gráfico da função f(x) = senx
Características da função cossenoÉ uma função f : R → R que associa a cada número real x o seu cosseno, então f(x) = cosx. O sinal da função f(x) = cosx é positivo no 1º e 4º quadrantes, e é negativo quando x pertence ao 2º e 3º quadrantes. Observe:
Gráfico da função f(x) = cosx
Características da função tangente
É uma função f : R → R que associa a cada número real x a sua tangente, então f(x) = tgx.
Sinais da função tangente:
É uma função f : R → R que associa a cada número real x a sua tangente, então f(x) = tgx.
Sinais da função tangente:
Valores negativos nos quadrantes pares.
Gráfico da função tangente
Resolução da 1º equação fundamental
As equações que podem ser resolvidas na forma sen x = sen a. Essa equação significa que, se encontrarmos dois ângulos que possuem o mesmo seno, então a sua soma deverá ser 180°.
Onde x é a incógnita da equação e a é o outro ângulo que pode ser representado em radianos que tem o mesmo seno que x.
A solução dessa equação é feita da seguinte forma:
S = {x
R ׀ x = a + 2kπ ou x = π – a + 2kπ}
Veja abaixo a resolução de uma equação trigonométrica utilizado a equação trigonométrica fundamental sen x = sen a.
Exemplo:
Para achar o conjunto solução da equação sen x = 1 é preciso ter o conhecimento de
2
alguns conceitos na trigonometria.
Primeiro devemos encontrar qual ângulo que pode ser colocado no lugar de x para que o cosseno seja igual a
.
Observando o quadro das funções trigonométricas dos ângulos notáveis percebemos que sen de 30º é igual a.
Passamos 30º para radianos, utilizando regra de três: 180° está
para π assim como 30° esta para π.
Onde x é a incógnita da equação e a é o outro ângulo que pode ser representado em radianos que tem o mesmo seno que x.
A solução dessa equação é feita da seguinte forma:
S = {x
R ׀ x = a + 2kπ ou x = π – a + 2kπ}Veja abaixo a resolução de uma equação trigonométrica utilizado a equação trigonométrica fundamental sen x = sen a.
Exemplo:
Para achar o conjunto solução da equação sen x = 1 é preciso ter o conhecimento de
2
alguns conceitos na trigonometria.
Primeiro devemos encontrar qual ângulo que pode ser colocado no lugar de x para que o cosseno seja igual a
.Observando o quadro das funções trigonométricas dos ângulos notáveis percebemos que sen de 30º é igual a
.Passamos 30º para radianos, utilizando regra de três: 180° está
para π assim como 30° esta para π.
Resolução da 2º equação fundamental
Uma das formas pelas quais podemos escrever uma equação trigonométrica écos x = cos a. Essa equação quer dizer que os valores dos co-senos de x e a são iguais, ou seja, que observando o círculo trigonométrico a distância do ângulo x e do ângulo a são idênticas em relação ao eixo dos co-senos.
Como toda equação tem uma incógnita e uma igualdade, podemos considerar xcomo sendo a incógnita e a como o valor de um ângulo qualquer.
Toda solução de uma equação trigonométrica escrita na forma cos x = cos a é feita da seguinte forma:
cos x = cos a ↔ x = ± a + 2kπ
Toda equação necessita, no seu término, de uma solução. Nesse tipo de equação a solução será:
S = {x
R | x = ± a + 2kπ (k Z)
Veja alguns exemplos de como aplicar essa resolução:
Exemplo 1:
cos x = 1
2
Para descobrir o valor de x teremos que recorrer à tabela de ângulos notáveis:
Observando a tabela percebemos que:
cos 60° = 1
2
Então, cos x = cos 60°
Logo: x = ± 60° + k . 360° (k Z)
S = {x R | x = ± 60° + k . 360° (k Z)}
Exemplo 2:
2 sen2 x = 2 . cos x
Como sen2 x = 1 – cos2 x, então:
2 (1 – cos2 x) = 2 – cos x
2 – 2 cos2 x = 2 – cos x
2 cos2 x + cos x = 0 → colocando cos x em evidência teremos:
cos x (2 cos x – 1) = 0, assim teremos dois valores para x:
cos x = 0 → x = ± 90º + + k . 360° (k Z)
ou
2 cos x – 1 = 0 → cos x = 1 → x = ± 60° + k . 360° (k Z)
2
Portanto, a solução será:
S = {x R | x = ± 90º + + k . 360° ou x = ± 60° + k . 360° (k Z)}.
Como toda equação tem uma incógnita e uma igualdade, podemos considerar xcomo sendo a incógnita e a
Toda solução de uma equação trigonométrica escrita na forma cos x = cos a é feita da seguinte forma:
cos x = cos a ↔ x = ± a + 2kπ
S = {x
R | x = ± a + 2kπ (k Z) Veja alguns exemplos de como aplicar essa resolução:
Exemplo 1:
cos x = 1
2
Para descobrir o valor de x teremos que recorrer à tabela de ângulos notáveis:
Observando a tabela percebemos que:
cos 60° = 1
2
Então, cos x = cos 60°
Logo: x = ± 60° + k . 360° (k Z)
S = {x
R | x = ± 60° + k . 360° (k Z)} Exemplo 2:
2 sen2 x = 2 . cos x
Como sen2 x = 1 – cos2 x, então:
2 (1 – cos2 x) = 2 – cos x
2 – 2 cos2 x = 2 – cos x
2 cos2 x + cos x = 0 → colocando cos x em evidência teremos:
cos x (2 cos x – 1) = 0, assim teremos dois valores para x:
cos x = 0 → x = ± 90º + + k . 360° (k
Z) ou
2 cos x – 1 = 0 → cos x = 1 → x = ± 60° + k . 360° (k Z)
2
Portanto, a solução será:
S = {x
R | x = ± 90º + + k . 360° ou x = ± 60° + k . 360° (k Z)}.
Resolução da 3º equação fundamental
As equações trigonométricas são divididas em três equações fundamentais e cada uma delas trabalha com uma função diferente, e conseqüentemente tem uma forma diferente de ser resolvida.
A equação que representa a 3º equação fundamental da trigonometria é tg x = tg a com a ≠ π + k π. Essa equação quer dizer
2
que se dois arcos (ângulos) possuem o mesmo
valor da tangente isso significa que possuem a mesma distância em relação ao centro do ciclo trigonométrico.
Na equação tg x = tg a, x é a incógnita (que é o valor de um ângulo) e a letra a é outro ângulo que poderá ser representado em graus ou radianos e que a sua tangente é a mesma de x.
A resolução dessa equação é feita da seguinte forma:
x = a + k π (k
Z)
E a solução dessa resolução será montada da seguinte forma:
S = {x R | x = a + kπ (k Z)
Veja alguns exemplos de equações trigonométricas que são resolvidas utilizando o método da 3º equação fundamental.
Exemplo 1:
Dê o conjunto solução da equação tg x = √3.
3
Como tg π = √3, então:
6 3
tg x = √3 → tg x = π.
3 6
x = π + k π (kZ)
S = {xR | x = π + kπ (k Z) }
6
Exemplo 2:
Resolva a equação sec2 x = (√3 – 1) . tg x + √3 + 1, para 0 ≤ x ≤ π.
O +1 que está no segundo membro passa para o 1º membro da igualdade, assim essa equação pode ser escrita da seguinte forma:
sec 2 x -1 = (√3 -1) . tg x + √3
Como sec2 x – 1 = tg2 x, logo:
tg2 x = (√3 -1) tg x + √3
Passando todos os termos do 2º membro para o 1º membro teremos:
tg2 x - (√3 -1) tg x - √3 = 0
Substituindo tg x = y, teremos:
y2 – (√3 -1) y - √3 = 0
Aplicando Bháskara nessa equação do 2º grau encontraremos dois valores para y.
y’ = -1 e y” = √3
tg x = -1 → tg x = tg π → x = π
3 3
tg x = √3 → tg x = tg 3π → x = 3 π
4 4
S = { x R | x = π + k π e x = 3 π (k Z)}
3 4
A equação que representa a 3º equação fundamental da trigonometria é tg x = tg a com a ≠ π + k π. Essa equação quer dizer
2
que se dois arcos (ângulos) possuem o mesmo
valor da tangente isso significa que possuem a mesma distância em relação ao centro do ciclo trigonométrico.
Na equação tg x = tg a, x é a incógnita (que é o valor de um ângulo) e a letra a é outro ângulo que poderá ser representado em graus ou radianos e que a sua tangente é a mesma de x.
A resolução dessa equação é feita da seguinte forma:
x = a + k π (k
Z) E a solução dessa resolução será montada da seguinte forma:
S = {x
R | x = a + kπ (k Z) Veja alguns exemplos de equações trigonométricas que são resolvidas utilizando o método da 3º equação fundamental.
Exemplo 1:
Dê o conjunto solução da equação tg x = √3.
3
Como tg π = √3, então:
6 3
tg x = √3 → tg x = π.
3 6
x = π + k π (k
Z) S = {x
R | x = π + kπ (k Z) } 6
Exemplo 2:
Resolva a equação sec2 x = (√3 – 1) . tg x + √3 + 1, para 0 ≤ x ≤ π.
O +1 que está no segundo membro passa para o 1º membro da igualdade, assim essa equação pode ser escrita da seguinte forma:
sec 2 x -1 = (√3 -1) . tg x + √3
Como sec2 x – 1 = tg2 x, logo:
tg2 x = (√3 -1) tg x + √3
Passando todos os termos do 2º membro para o 1º membro teremos:
tg2 x - (√3 -1) tg x - √3 = 0
Substituindo tg x = y, teremos:
y2 – (√3 -1) y - √3 = 0
Aplicando Bháskara nessa equação do 2º grau encontraremos dois valores para y.
y’ = -1 e y” = √3
tg x = -1 → tg x = tg π → x = π
3 3
tg x = √3 → tg x = tg 3π → x = 3 π
4 4
S = { x
R | x = π + k π e x = 3 π (k Z)} 3 4
Seno, Cosseno e Tangente de Ângulos
A trigonometria é considerada uma das áreas mais importantes da Matemática, pois possui diversas aplicações nos estudos relacionados à Física, Engenharia, Navegação Marítima e Aérea, Astronomia, Topografia, Cartografia, Agrimensura, entre outras.
Os estudos iniciais sobre a trigonometria são associados ao grego Hiparco, que relacionou os lados e os ângulos de um triângulo retângulo e possivelmente construiu a primeira tabela de valores trigonométricos, por isso muitos o consideram o pai da trigonometria. Os estudos trigonométricos no triângulo são embasados em três relações fundamentais: seno, cosseno e tangente.
No triângulo, os ângulos de 30º, 45º e 60º são considerados notáveis, pois estão presentes em diversos cálculos. Por isso seus valores trigonométricos correspondentes são organizados em uma tabela, veja:
Nas situações envolvendo outros ângulos, os valores trigonométricos podem ser obtidos através do uso de uma calculadora científica, que dispõe das teclas sen (seno), cos (cosseno) e tan (tangente). Outra opção seria dispor de uma tabela trigonométrica, observe:
Para o cálculo dos valores trigonométricos envolvendo ângulos obtusos utilizamos as seguintes definições:
sen x = sen (180º – x)
cos x = – cos (180º – x)
Exemplo
Obtenha o valor de seno de 120º e cosseno de 120º.
sen 120º = sen (180º – 120º) → sen 120º = sen 60º = 0,8660
cos 120º = – cos (180º – 120º) → cos 120º = – cos 60º = – 0,5000
sen x = sen (180º – x)
cos x = – cos (180º – x)
Exemplo
sen 120º = sen (180º – 120º) → sen 120º = sen 60º = 0,8660
cos 120º = – cos (180º – 120º) → cos 120º = – cos 60º = – 0,5000
Secante, Cossecante e Cotangente
Cotangente
Podemos definir cotangente como a relação que admite ser o inverso da tangente, sendo tangente o quociente do seno pelo cosseno, então cotangente será o quociente do cosseno pelo seno.
Tangente: tg
Cotangente: cotg
Podemos definir cotangente como a relação que admite ser o inverso da tangente, sendo tangente o quociente do seno pelo cosseno, então cotangente será o quociente do cosseno pelo seno.
Tangente: tg
Cotangente: cotg
(tgx ≠ 0)
Cossecante
Definimos cossecante como a relação que admite ser o inverso do seno. Quando
senx ≠ 0, dizemos que a cossecante de x é o inverso do sen de x.
(senx ≠ 0)
Secante
Definimos secante como a relação que admite ser o inverso do cosseno. Observemos o mesmo caso anterior, se cosx ≠ 0 a secante de x é inverso do cosx.
(cosx ≠ 0)
Teorema de Pitágoras
O Teorema de Pitágoras é considerado uma das principais descobertas da Matemática, ele descreve uma relação existente no triângulo retângulo. Vale lembrar que o triângulo retângulo pode ser identificado pela existência de um ângulo reto, isto é, medindo 90º. O triângulo retângulo é formado por dois catetos e a hipotenusa, que constitui o maior segmento do triângulo e é localizada oposta ao ângulo reto. Observe:
Catetos: a e b
Hipotenusa: c
Catetos: a e b
Hipotenusa: c
O Teorema diz que: “a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.”
a² + b² = c²
Exemplo 1
Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a seguir.
a² + b² = c²
Exemplo 1
x² = 9² + 12²
x² = 81 + 144
x² = 225
√x² = √225
x = 15
Foi através do Teorema de Pitágoras que os conceitos e as definições de números irracionais começaram a ser introduzidos na Matemática. O primeiro irracional a surgir foi √2, que apareceu ao ser calculada a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos medindo 1. Veja:
x² = 1² + 1²
x² = 1 + 1
x² = 2
√x² = √2
x = √2
√2 = 1,414213562373....
Exemplo 2
Calcule o valor do cateto no triângulo retângulo abaixo:
x² + 20² = 25²
x² + 400 = 625
x² = 625 – 400
x² = 225
√x² = √225
x = 15
Exemplo 3
Um ciclista acrobático vai atravessar de um prédio a outro com uma bicicleta especial, percorrendo a distância sobre um cabo de aço, como demonstra o esquema a seguir:
Qual é a medida mínima do comprimento do cabo de aço?
Pelo Teorema de Pitágoras temos:
x² = 10² + 40²
x² = 100 + 1600
x² = 1700
x = 41,23 (aproximadamente)
Transformações Trigonométricas
Fórmulas da Adição e Subtração de Arcos Trigonométricos
Considerados dois arcos quaisquer de medidas a e b, as operações da soma e da diferença entre esses arcos será dada pelas seguintes identidades:
sen (a + b) = sen a * cos b + cos a * sen b
sen (a – b) = sen a * cos b – cos a * sen b
cos (a + b) = cos a * cos b – sen a * sen b
cos (a – b) = cos a * cos b + sen a * sen b
Considerados dois arcos quaisquer de medidas a e b, as operações da soma e da diferença entre esses arcos será dada pelas seguintes identidades:
sen (a + b) = sen a * cos b + cos a * sen b
sen (a – b) = sen a * cos b – cos a * sen b
cos (a + b) = cos a * cos b – sen a * sen b
cos (a – b) = cos a * cos b + sen a * sen b
Exemplo 1
sen 105º = sen (60º + 45º) = sen 60º * cos 45º + cos 60º * sen 45º =
Exemplo 2
sen 15º = sen (45º – 30º) = sen 45º * cos 30º – cos 45º * sen 30º =
sen 105º = sen (60º + 45º) = sen 60º * cos 45º + cos 60º * sen 45º =
Exemplo 2
sen 15º = sen (45º – 30º) = sen 45º * cos 30º – cos 45º * sen 30º =
Exemplo 3 cos 105º = cos (60º + 45º) = cos 60º * cos 45º – sen 60º * sen 45º =
Exemplo 4
cos 15º = cos (45º – 30º) = cos 45º * cos 30º + sen 45º * sen 30º =
Exemplo 5
tg 75º = tg (45º + 30º) =
Exemplo 6
tg 15º = tg(45º – 30º) =
Fórmulas Trigonométricas de Arco Duplo
Demonstrando as funções trigonométricas do arco de medida a e do arco de medida 2a.
Sabemos que 2a = a + a, dessa forma:
sen 2a = sen (a + a) = sen a * cos a + cos a * sen a ou sen 2a = 2 * sen a * cos a
Também temos:
cos 2a = cos (a + a) = cos a * cos a – sen a * sen a ou cos 2a = cos²a – sen²a
Finalizando:
tg 2a = tg (a + a) = (tg a + tg a) / (1 – tg a * tg a) ou tg 2a = (2*tg a) / (1 – tg² a)
Demonstrando as funções trigonométricas do arco de medida a e do arco de medida 2a.
Sabemos que 2a = a + a, dessa forma:
sen 2a = sen (a + a) = sen a * cos a + cos a * sen a ou sen 2a = 2 * sen a * cos a
Também temos:
cos 2a = cos (a + a) = cos a * cos a – sen a * sen a ou cos 2a = cos²a – sen²a
Finalizando:
tg 2a = tg (a + a) = (tg a + tg a) / (1 – tg a * tg a) ou tg 2a = (2*tg a) / (1 – tg² a)
Trigonometria no triângulo Retângulo
O triângulo é a figura mais simples e uma das mais importantes da Geometria, ele é objeto de estudos desde os povos antigos. O triângulo possui propriedades e definições de acordo com o tamanho de seus lados e medida dos ângulos internos. Quanto aos lados, o triângulo pode ser classificado da seguinte forma:
Equilátero: possui os lados com medidas iguais.
Isósceles: possui dois lados com medidas iguais.
Escaleno: possui todos os lados com medidas diferentes.
Quanto aos ângulos, os triângulos podem ser denominados:
Acutângulo: possui os ângulos internos com medidas menores que 90º
Obtusângulo: possui um dos ângulos com medida maior que 90º.
Retângulo: possui um ângulo com medida de 90º, chamado ângulo reto.
No triângulo retângulo existem algumas importantes relações, uma delas é oTeorema de Pitágoras, que diz o seguinte: “A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa”. Essa relação é muito importante na geometria, atende inúmeras situações envolvendo medidas.
As relações trigonométricas existentes no triângulo retângulo admitem três casos: seno, cosseno e tangente.
Equilátero: possui os lados com medidas iguais.
Isósceles: possui dois lados com medidas iguais.
Escaleno: possui todos os lados com medidas diferentes.
Quanto aos ângulos, os triângulos podem ser denominados:
Acutângulo: possui os ângulos internos com medidas menores que 90º
Obtusângulo: possui um dos ângulos com medida maior que 90º.
Retângulo: possui um ângulo com medida de 90º, chamado ângulo reto.
No triângulo retângulo existem algumas importantes relações, uma delas é oTeorema de Pitágoras, que diz o seguinte: “A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa”. Essa relação é muito importante na geometria, atende inúmeras situações envolvendo medidas.
As relações trigonométricas existentes no triângulo retângulo admitem três casos: seno, cosseno e tangente.
Vamos determinar as relações de acordo com o triângulo BAC com lados medindo a, b e c.
senoB = b/a
cossenoB = c/a
tangenteB = b/c
senoC = c/a
cossenoC = b/a
tangenteC = c/b
A trigonometria possui diversas aplicações no cotidiano, abrange áreas relacionadas à Astronomia, Física, Geometria, Navegação entre outras.
Utilizando as Relações Trigonométricas
A trigonometria tem o objetivo de calcular medidas de comprimento de situações cotidianas relacionadas a modelos geométricos semelhantes a triângulos retângulos. Com base no ângulo de inclinação em destaque, podemos utilizar as razões trigonométricas seno, cosseno e tangente. Vamos através de exemplos demonstrar algumas situações cotidianas.
Exemplo 1
Ao levantar voo, um avião sobe formando com a pista um ângulo de 30º. Considerando que o ângulo formado seja contínuo, determine a altura atingida pelo avião ao percorrer 2 km (2000 metros).
O avião se encontrará a uma altura de 1 km ou 1000 metros.
Exemplo 2
No intuito de medir a altura de uma torre, um topógrafo utilizando um teodolito esquematizou a seguinte situação:
Determine a altura da torre de acordo com o esquema.
A torre possui aproximadamente 86,6 metros de altura.
Exemplo 3
Deseja–se esticar uma corda do topo de um mastro até um ponto P distante 40 metros da base do mastro. Sabendo que o ângulo formado entre a superfície e a corda é de 60º, determine o comprimento da corda.
A corda terá comprimento igual a 80 metros.
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