Determinantes
1.
Introdução
A teoria dos
determinantes teve origem em meados do século XVII, quando eram estudados
processos para resolução de sistemas lineares de equações. Hoje em dia, embora
não sejam um sistema prático para a resolução de sistemas, os determinantes são
utilizados, por exemplo, para sintetizar certas expressões matemáticas
complicadas.
2.
Definição
A toda matriz
quadrada associa-se um número, denominado determinante da matriz,
que é obtido por meio de operações entre os elementos da matriz.
3. Cálculo dos
Determinantes:
3.1. Determinantes da
matriz de 1ª ordem
O determinante da
matriz quadrada de 1ª ordem é igual ao próprio elemento da matriz .
Ex.:
3.2. Determinantes da
matriz de 2ª ordem
O determinante da
matriz quadrada de 2ª ordem é igual diferença entre os produtos dos elementos
da diagonal principal e da diagonal
secundária .
Ex.:
3.3. Determinantes da
matriz de 3ª ordem(Regra de Sarrus)
1. Ao lado direito da
matriz copiam-se as duas primeiras colunas.
2. Multiplicam-se os
elementos da diagonal principal e, na mesma direção da diagonal principal,
multiplicam-se os elementos das outras duas filas à sua direita.
3. Multiplicam-se os
elementos da diagonal secundária e, na mesma direção, os elementos das outras
duas filas à sua direita.
4. O determinante da
matriz é a subtração dos produtos obtidos em 2 e 3.
Ex.:
4. Cofator de uma matriz
Seja A uma matriz
quadrada de ordem n ³ 2. Chama-se cofator de um elemento aij
de A ao número real Aij =
(-1)i + j .
Dij,
em que Dij é o determinante
obtido da matriz A quando se eliminam a linha e a coluna em que se encontram o
elemento aij .
Ex.:
5. Teorema de Laplace
O determinante de uma
matriz A, de ordem n ³ 2, é a soma dos
produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos seus
respectivos cofatores.
Ex.:
Propriedades dos
Determinantes
P1.
Fila Nula
Se todos os elementos
de uma fila de uma matriz A forem nulos, então det A
= 0 .
Ex.:
P2.
Filas Paralelas Iguais ou Proporcionais
Se duas filas
paralelas de uma matriz A forem iguais ou proporcionais, então det A = 0 .
Ex.:
Se liguem, sempre
que nos referimos
a filas, estamos falando
de linhas e também
de colunas!
P3.
Matriz Transposta
O determinante de uma
matriz é igual ao de sua transposta.
Ex.:
P4.
Teorema de Binet
Se A e B são matrizes
quadradas de mesma ordem n, então:
det(A . B) = det A . det B
Ex.:
P5.
Matriz Triangular
O determinante de uma
matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
Ex.:
P6.
Troca de Filas Paralelas
Se trocarmos de
posição duas filas paralelas de uma matriz M, obteremos uma outra matriz M´, tal que:
det M´ = - det M
Ex.:
P7.
Produto de uma Fila por uma Constante
Se todos os elementos
de uma fila, de uma matriz, forem multiplicados por um mesmo número real k, o determinante da
matriz assim obtida fica multiplicado por k.
Ex.:
Multiplicando a 2ª
coluna de A por (-3), temos:
Conseqüência:
Seja uma matriz A, de
ordem n, e k um número real, temos:
det (k . A) = kn .
det A
P8.
Determinante da Matria Inversa
Seja A uma matriz e A-1 sua inversa, então:
Ex.:
P9.
Adição de Determinantes
Um determinante pode
ser decomposto na soma de outros determinantes, iguais aos primeiros, exceto
numa coluna j qualquer, mas tal que, a soma das colunas j destes determinantes,
seja igual a coluna j do primeiro determinante.
Ex.:
P10.
Teorema de Jacobi
det M´ = det M
Ex.:
Regra de Chió
A regra de Chió é uma técnica
utilizada no cálculo do determinantes de ordem n ³ 2. Dada uma matriz A
de ordem n, ao aplicarmos essa regra obteremos uma outra matriz A´ de ordem n – 1, cujo
determinante é igual ao de A.
1. Desde que a matriz
tenha um elemento igual a 1 (um), eliminamos a linha e a coluna deste elemento.
2. Subtraímos de cada
elemento restante o produto dos dois elementos eliminados, que pertenciam à sua
linha e à sua coluna.
3. Multiplicamos o
determinante obtido por (-1)i + j, em que i e j representam a linha e a coluna
retiradas.
Ex.:
Matriz de Vandermonde
Chamamos matriz de Vandermonde, ou das potências,
toda matriz de ordem n ³ 2, em que suas
colunas são potências de mesma base, com expoente inteiro, variando de 0 à n –
1 (os elementos de cada coluna formam uma progressão geométrica de primeiro
termo igual a 1).
Obs.: Os elementos da
2ª linha são chamados elementos característicos da matriz.
O determinante da
matriz de Vandermonde é igual ao produto
de todas as diferenças possíveis entre os elementos característicos e seus
antecessores.
Ex.:
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